京都大学２次記述数学ポイント

京都大学の入試問題は難しい問題ばかりだと思われがちですが、実は教科書で学ぶ基本事項をどれだけ使いこなせるかが問われています。この記事では2024年度の数学の問題を例に、「どんな力が必要なのか」「普段どのように勉強すればその力が身につくのか」を考えてみます。

空間ベクトルの問題です。この問題で特徴的なのは条件として与えられた「ねじれの位置」という言葉です。この言葉を見て、どうすればよいのか迷う人も多いのではないでしょうか。この問題にはいくつか解法がありますが、今回は教科書で学ぶ基本事項を積み重ねて自然にたどり着ける考え方を紹介します。

「ねじれの位置」は中学校で学ぶ内容ですが、言葉だけ覚えていても意味はありません。２直線がねじれの位置にあることを図示するときはどのようにすればよいでしょうか？方法としては、まず１本目の直線と、それを含む平面（水平な平面をかくとわかりやすいでしょう）を書き、その平面に交わり、交点が１本目の直線上にないような直線を２本目として描くと、この２本の直線はねじれの位置になります。ということは、「直線QYと直線PXがねじれの位置にある」ための必要十分条件は、「４点P、Q、X、Yが同一平面上にない」ことだとわかると思います。

ここまでで大事なことをまとめると、

　・数学用語を、単に文字を追うだけでなく、説明の図なども自分で描いてみて、数学用語を他の言葉に正しく言い換えることもできるようになること。

　となります。

その上でベクトルの基本事項を一通り思い出してみましょう。先ほどの図を描いたことで気づいてほしいのですが、「ねじれの位置」をベクトルを用いて言い換えるカギとなるのは

　・（空間内で）４点が同一平面上に存在する条件

です。もし、ベクトルの基本事項を思い出すことができなければ、まずベクトルの加減、スカラー倍はそれぞれ何を表すのか、またどのように計算するのかがはっきり分かっているか、という基本から順に復習する必要があります。

いままでの流れから、求める条件は「４点P、Q、X、Yが同一平面上にある」条件の否定を用いて記述することができると気づくことができます。この後の計算や他の問題に書ける時間を考えると、この段階までをできれば5分以内、遅くとも10分程度で整理したいところです。

さて、ここから後半に取り掛かりましょう。問題文に「4点O、A、B、Cが同一平面上にない」という条件が与えられていますので、「任意の空間ベクトルはベクトルOA、ベクトルOB、ベクトルOCを用いて、ただ一通りに表せる」ことはできるだけ早く気付きたいポイントです。これより「４点P、Q、X、Yが同一平面上にある」ための式を、ベクトルOA、ベクトルOB、ベクトルOCのみを用いたものに書きなおす計算をすることになります。これは教科書の例題でやっているはずなので、それを思い出して確実に解けるようにしましょう。

実際の計算は以下の通りになります。

京大の問題だからといって特別な発想が必要なのではありません。教科書の基本例題を確実に理解し、それらを組み合わせる力こそが合格への近道です。

京大フロイデ塾では、このように「解き方」だけでなく、「どの基本事項を使うか」を考える力を重視した指導を行っています。興味を持っていただけた方は、ぜひ夏期講習もご検討ください。