高校数学で差をつける！定期テストでも、私大入試でも、国公立2次記述でも狙われる、余弦定理応用問題！

公立高校では概ね高校１年生の２学期に、図形と計量という分野で三角比について習います。今日の記事では、余弦定理および、「未知数の数と式の数が同じであれば、連立させた方程式の解が定まる」という性質を組み合わせて用いる問題をとりあげます。

この問題は、数研出版、啓林館、東京書籍の教科書では、いずれも章末演習問題に類題が掲載されており、定期テストとしては難しめの問題となります。また、京都医療科学大の総合入試や京都薬科大学の一般入試などでも出題されています。

より難しい設定の問題としては、2006年東京大学の文系の第1問があります。設定は難しいですが、未知数の数と方程式の数が同じであれば解が定まる、という構造は共通しています。是非チャレンジしてみてください。考え方は問題画像の下に掲載します。

この問題に限らず、数学に通底する考え方を身につけ、実力を高めたい方は、是非京大フロイデ塾にお問い合わせください。

お問い合わせは下部フォームまたはお電話にて受け付けております。

上の問題については、単に△ABDに余弦定理を用いても、得られる式の中でBDとcos∠BADの２つが未知なので、この２つの値を求めることができません。ここで、円に内接する四角形の性質から、∠BAD＝180°－∠BCDなので、cos∠BAD＝－cos∠BCDであることがわかります。これより、△BCDにも余弦定理を用いることでBDとcos∠BADを含む別の関係式が得られるので、先ほどの式と連立させることで、両方の値を求めることができます。

下の東京大学の問題についても、基本的な考え方と必要な知識はほぼ変わりません。条件より、AB＋DA＝18が分かります。また、今回は円の半径が分かっているので、正弦定理を用いてBDとsin∠BADとの関係式を作ることができます。未知数がAB、BD、DA、cos∠BADと４つになっていますが、先の教科書の問題と同じ２つの式に加え、AB＋DA＝18と正弦定理を合わせて４つの式が得られるので、連立させて答えを求めることができます。

なお、△BCDはBC＝CDの二等辺三角形ですので、対角線ACは∠BADの二等分線となっています。こちらに気づくと、倍角の公式を用いて多少計算が楽になります。