堀川高校探究学科群の数学から学ぶー「試して、比べて、理由を考える」

今回は、堀川高校探究科群の2026年度入試[6]を通して、初めて見る問題にどう取り組めばよいかを考えてみます。特別な知識を必要とせず、中学1年生でもチャレンジできる問題です。

[6] 2以上の自然数nを、2つ以上の自然数の和の形にすることを分解と呼ぶ。例えば、3は

　 1+1+1、1+2、2+1と3通りの式に分解できる。nを分解してできるそれぞれの式において

　 +をすべて×に置き換えて計算した値のうち、最小のものをA(n)、最大のものをB(n)とする。

　 このとき、次の問いに答えなさい。

(1) A(n)、B(4)をそれぞれ求めなさい。

(2) B(12)を求めなさい。

問題文を読んだだけでは解き方が分からなくても、実際にいくつかの分解を試してみれば、取り組むきっかけをつかめる問題です。大切なのは、試験場でも焦らずに手を動かして考えられるかどうかです。

(1)のA(n)については、積の値をどうやって小さくするかを考えれば、どんな自然数nについても「1+1+1+…+1」と分解するのが最小だと気づくのにはそう難しくないと思います。

また、B(4)については、考えられる分解をすべて考えれば、2+2の分解で×に置き換えたものが最大になることは簡単に確認できます。ここまでは確実に得点したいところです。

(2)です。まず、分解に1を含む必要はありません。1を掛けても数は不変で大きくなることはないからです。そして、5以上の数は2と残りの数に分割することで積を大きくすることができ、(1)の結果のB(4)=4より、4は2と2に分解しても数が変わらないことから、12の分解の中で、積が最大となる分割には2と3以外はでてこない、という見当がつけられると見通しが立ちます。後は、2×2×2=8より3×3=9の方が大きいことから、なるべく3で分割した方が良いと判断でき、B(12)=3⁴=81と求められます。

数学では、最初から解き方が分かる問題ばかりではありません。そんなときには、具体的な場合を試し、結果を比較しながら、規則性やその理由を考えることが大切です。京大フロイデ塾では、こうした学習を通して、自ら考え、問題を解決する力を育てます。興味を持たれた方はぜひお問い合わせフォームまたはお電話でお気軽にご連絡ください。