【中学編】数学実力UP！一つの問題をいろいろな方法で解いてみよう

一つの問題を何通りもの方法で解いてみると、別々の単元として習った知識が、実は同じ数学的な構造を違う角度から見たものであることに気づくことがあります。

数学の実力を伸ばすには、知識を覚えるだけでなく、問題に応じて使う知識や解き方を選べることが大切です。今回は、一つの問題をいろいろな方法で解くことで、知識のつながりを確認しながら、数学の実力UPを目指します。

そのために、問題を解く過程を「性質」「操作」「方針」に分けて考えてみます。

性質……数学的に成り立つ事実や関係

操作……式を加減する、代入する、補助線を引くなど、実際に行うこと

方針……どの性質を利用し、どのような操作で答えにたどり着くかという方向性

特に図形では、図形のまま解くか、座標を設定して式に置き換えるかという方針の違いによって、同じ問題でも違った数学が見えてきます。

1．相似・面積・一次関数

直角三角形ABCがあり、∠A＝90°、AB＝6cm、AC＝8cmである。

辺AB、AC上にそれぞれ点P、Qをとり、四角形APRQが正方形になるようにする。ただし、点Rは斜辺BC上にある。

このとき、正方形APRQの一辺の長さを求めなさい。

難易度は教科書例題レベルですが、相似を利用する、面積について方程式を立てる、座標を設定して直線の式を利用する、などの方針で解くことができます。ぜひ、いろいろな方法を試してみてください。

特に、相似を利用すると「辺の比」、座標を利用すると「直線の傾き」が現れます。

相似における辺の比 ⇔ 一次関数における傾き

中学校では別々の単元で習う内容ですが、同じ数量の関係を違う角度から見ていることが分かります。

円Oの直径ABの長さは10cmである。

円周上に点CをAC＝6cmとなるようにとる。点Cにおける円Oの接線と、直線ABとの交点をPとする。

このとき、線分CPの長さを求めなさい。

こちらは受験レベルの問題です。

幾何的には、点Cから直線ABに垂線を下ろし、相似と三平方の定理を利用して求めることができます。また、△APCと△CPBの相似を利用すると、

CP²＝AP×PB

が得られます。これは高校の数学Aで学習する「方べきの定理」につながる関係で、相似を導く際の角の関係は「接弦定理」につながっています。

座標を利用して解くこともできます。

A＝(0，0)、B＝(10，0)、C＝(x，y)

とすると、長さの条件から2乗を含む2つの式が得られます。

中学校で習う連立方程式は1次式のものですが、2次式を含む連立方程式でも、「2つの式から1文字を消去する」という方針は同じです。そのために「2つの式を加減する」という操作を行います。

式の形が見慣れないものでも、既に知っている性質や方針が使えないか考えてみることが大切です。

一つの問題を何通りもの方法で解く目的は、単に別解を覚えることではありません。

どの性質を使うのか。どのような方針で解くのか。そのためにどんな操作をするのか。

一度解けた問題でも、別の方法で解いてみることで、別々の単元で習った知識のつながりが見えてくることがあります。ぜひ、答えが出た後にも「ほかの方法では解けないか」を考えてみてください。