西京高校エンタープライジング科「約束記号」問題対策ポイント

この記事では、西京高校エンタープライジング科の数学過去問で必ず出題される「約束記号」の問題を例に、対策すべきポイントとどのように勉強していけばよいかについて解説します。

こちらは2024(R.6)年度の問題５です。

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2次方程式と整数の性質（素因数分解）の融合問題ですが、2次方程式の知識は基本的なものしか必要ありません。見慣れない約束記号[ ]が登場しますが、実際には素因数分解の基礎が身についていれば十分解ける問題です。

まずは問題を読んで、[n]の定義を正確に把握しなければなりません。なお[ ]は別の場所ではガウス記号とよばれ、[ ]内の値を超えない最大の整数を指すことがありますが、この問題の[ ]はそれとは異なります。あくまで問題に書かれている定義を使ってください。問題文のたとえばの後に具体的な例が書いてあるので、定義は把握しやすいと思います。

小問1は上の具体例を参考にして、200を素因数分解し、掛け合わせている素数の個数を数えれば答えを求められます。特に難しいことはなく、ここは確実に正解したい問題です。

小問2で、どのようにアプローチすればよいか迷うかもしれません。まず問題文を読み返し、このレベルであれば答えを1つずつ計算して求めるのが速いと気づいてほしいと思います。実際、答えとなるものは

2×2×2×2＝16, 2×2×2×3＝24、2×2×3×3＝36、2×2×2×5＝40の４つのみです。

もう少し詳しく解説します。まず最初の２つが2×2の場合、残り2つの数の積は12以下にならなければなりません(50÷4＝12.5より)。なので、条件を満たすのは上の4つになります。

次に、最初の2つが2×3のとき、残り2つの数に2が含まれている場合は先ほどのものと重複するので、残り2つの数がどちらも3以上の場合のみを考えますが、最小である2×3×3×3=54の時点で条件を満たさないので、上の4つ以外に条件を満たす自然数nは存在しません。

ここを解けるかどうかがこの問題の鍵となります。

小問2が解ければ、小問3はそれほど難しくありません。

[n]を単なるxだと思って、通常通り2次方程式を解くと、[n]=4, 5となります。なので、この問題は、

[n]=4または[n]=5のどちらか一方を満たす自然数nのうち、50以下で最大のものを求めよ。

という問題であることが分かります。

小問2で[n]=4の場合は考えています。なので、41以上50以下で[n]=5を満たす数を作ればよいのですが、どのように作ればよいでしょうか。所詮10個しかないので、[41]から[50]のすべての数を考えるのも現実的だと思います。ただし、小問2で[n]=4を満たす数はすべて求めていますから、それに素数をかけてできる数こそが、[n]=5を満たすものの全てであるということに気づくことができれば、かなり時間を省くことができます。もちろん40や36は2をかけた時点で50を超えてしまいますから、24×2(=16×3)=48が41以上50以下で唯一[n]=5を満たすnの値となります。念のため確認すると、[49]=2、[50]=3ですから、49と50は条件を満たさず、小問3の答えは48となります。

西京高校の約束記号の問題で使われる記号の定義は、たいてい試験場で初めて触れることになると思います。そのような問題では、自分があたりまえに知っている知識を用いて、具体例を1つ1つ作っていけることが一番大事です。「知らない記号だから難しい」と思わず、まずは定義を正確に読み、具体例で確認する習慣をつけることが大事なのですが、そのためには、普段使っている数学用語1つ1つの意味を自分なりに考え、具体例で確認することが一番です。

エンタープライジング科の教育理念は「進取・敢為・独創の校是のもと，「社会人力」を育成し，将来その力を十分に発揮し，社会に貢献し活躍できるグローバルリーダーを育てる。」となっています。数学において約束記号の問題が毎年出題されているのは、この教育理念に沿うものと考えます。

京大フロイデ塾では、定義を読み、具体例で確認するということを重要視して授業を行っておりますので、このような問題にも十分対応できる力を付けられます。もし興味をもっていただけましたら、是非夏期講習の受講をご検討ください。

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